Simuler un échantillon

Définition

Soit une expérience aléatoire à deux issues. Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Soit un échantillon de taille \(n\) correspondant à cette expérience aléatoire. Simuler cette échantillon de taille \(n\) revient à reproduire artificiellement \(n\) fois cette expérience, en veillant à être dans les mêmes conditions, et à s'intéresser aux \(n\) résultats obtenus.

Remarques

• On peut simuler une expérience aléatoire à l'aide d'une calculatrice, d'un tableur, d'un programme informatique, d'un générateur de nombres aléatoires, etc.
  
• Soit \(N\) un entier naturel non nul. On peut simuler \(N\) échantillons de taille \(n\) d'une expérience aléatoire à deux issues.
  

Propriété

Soit \(p \in [0;1]\).
Soit une expérience aléatoire à deux issues \(x_1\) et \(x_2\), de probabilités respectives \(p\) et \(1-p\). 
On peut simuler un échantillon de cette expérience aléatoire en générant aléatoirement un réel \(\alpha\) compris entre 0 et 1 et en appliquant le protocole suivant.

• Si \(\alpha < p\) alors l'issue \(x_1\) est réalisée.
• Si \(\alpha \geq p\) alors l'issue \(x_2\) est réalisée.
  

Exemple

Dans un tableur, on saisit la commande \(\texttt{=ALEA()}\) dans la cellule A1 et la commande \(\texttt{=SI(A1<0,5;"PILE";"FACE")}\) dans la cellule B1. On sélectionne ensuite les cellules A1 et B1 et on étend les formules jusqu'à la ligne 5 incluse. On obtient ainsi le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|}\hline & \text{A} & \text{B} \\\hline1 & 0,3639 & \text{PILE} \\\hline2 & 0,4399 & \text{PILE} \\\hline3 & 0,9214 & \text{FACE} \\\hline4 & 0,8344 & \text{FACE} \\\hline5 & 0,3087 & \text{PILE} \\\hline\end{array}\)

Explications

• Cellule A1 : la commande \(\texttt{=ALEA()}\) permet d'obtenir aléatoirement un nombre réel compris entre 0 et 1.
  
• Cellule B1 : si le nombre aléatoire obtenu dans la cellule A1 est strictement inférieur à 0,5 alors on dit que l'on obtient le côté "PILE" et sinon, le côté "FACE" de la pièce.
  
• On étend les formules jusqu'à la ligne 5 incluse, construisant ainsi un échantillon de taille 5 de l'expérience aléatoire.
  

On simule donc cinq lancers de pièce de monnaie en notant le côté obtenu pour chaque lancer.